Теорема 4. Ранг матрицы треугольного (ступенчатого) вида равен числу ненулевых строк матрицы.

Date: 2015-10-07; view: 512.

Ранг матрицы – это максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Справедливы соотношения: 1) r(A^Т)=r(A),^*) 2) r(_Amхn) ≤ min{m, n}, т.е. ранг матрицы меньше или равеннаименьшему из чисел m, n.

В дальнейшем нам понадобится следующее определение.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1. перестановка строк (столбцов) матрицы;

2. умножение какой - либо строки (столбца) на не равное нулю число;

3. прибавление к какой–либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

Можно доказать, что при элементарных преобразованиях матрицы ранг матрицы не меняется.

Определение. Матрицы А и В называются эквивалентнымиА ~ В, если эти матрицы имеют один и тот же ранг: r(A) = r(B).

Применяя элементарные преобразования, любую матрицу можно привести к эквивалентной матрице треугольного ( диагонального или ступенчатого – ниже (выше) главной диагонали все элементы матрицы равны нулю ) вида. Тогда справедлива следующая теорема, позволяющая легко находить ранг матрицы.

Аналогичная теорема справедлива для вектор–столбцов матрицы.

Пример 1. Ранг тождественного отображения : Xⁿ→Y^m (при любых соотношениях между n и m) равен n : r( ) = r(E_n) = n (см. пример 1, п. 2.).

Пример 2. Ранг дифференциального оператора : P_n-1→ →P_n-2 равен (n-1) : = r(D_(n-1)хn))= r(D_(n-1))= n-1 (см. пример 3, п. 2).

Пример 3. Найдем ранг матрицы

.

Приведем матрицу к эквивалентной матрице треугольного вида следующими элементарными преобразованиями (обозначения аналогичны обозначениям преобразований с определителями, см. §2, п. 2):

,

r(A) = r(B) = 2 (по строкам). Значит, в матрице А только две вектор–строки (любые) линейно независимы.

Установим этот факт, оперируя со столбцами

отсюда r(A) = r(B) = r(С) = 2 (по столбцам). Очевидно, в матрице С только 2 вектора (строки или столбцы): =(1, 0, 0), =(0, 1, 0) линейно независимы. Это же справедливо и для матрицы А. Заметим, например, что 3-й вектор–столбец есть линейная комбинация первых двух: ст₃ = 2·ст₂–ст₁.

Пример 4. Докажем, что векторы = (4; 1), = (-2; 3) образуют базис пространства А² (см. § 1, п. 5, пример 6).

Составим матрицу А, записав, например, векторы строками и найдем ее ранг:

.

Отсюда r(A) = r(B) = 2 и имеем два линейно независимых вектора, которые в 2-мерном пространстве образуют базис.