Лектор - А.В. Прохоров, 2014-2015 уч. г.
Date: 2015-10-07; view: 411.
И случайных процессов
Кафедра математической статистики
Лектор А.В. Прохоров
Экзаменационные вопросы по курсу "Математическая статистика".
1. Эмпирическая функция распределения; ее свойства как функции распределения и как оценки теоретической функции распределения.
2. Теорема Гливенко-Кантелли о сходимости эмпирической функции распределения.
3. Асимптотические свойства эмпирических моментов и функций от них.
4. Теорема Колмогорова с доказательством независимости распределения статистики Колмогорова от вида непрерывной функции распределения.
5. Вариационный ряд выборки и порядковые статистики. Распределение порядковых статистик.
6. Информация Фишера и ее свойства.
7. Условные математические ожидания и условные распределения относительно s-алгебр. Свойства условных математических ожиданий.
8. Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера (критерий достаточности).
9. Сравнение точечных статистических оценок по их свойствам. Асимптотические свойства оценок. Примеры состоятельных и асимптотически нормальных оценок.
10. Эффективные оценки в регулярном случае. Неравенство Крамера – Рао и его многомерное обобщение.
11. Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Теорема Колмогорова-Блекуэла-Рао.
12. Полные достаточные статистики и теорема о несмещенных оценках с минимальной дисперсией.
13. Свойства частоты как оценки вероятности «удачи» в схеме Бернулли. Сравнение с другими оценками.
14. Метод моментов оценивания параметров. Теорема о состоятельности оценок метода моментов.
15. Метод максимального правдоподобия. Теорема о состоятельности оценок максимального правдоподобия.
16. Метод максимального правдоподобия. Теорема об асимптотической нормальности оценок максимального правдоподобия.
17. Байесовский метод. Теорема о байесовской оценке при квадратичной функции риска. Априорный и апостериорный риск. Примеры байесовских оценок.
18. Многомерное нормальное распределение: эквивалентные определения и основные характеристики. Свойства многомерного нормального распределения.
19. Лемма Фишера о независимости среднего арифметического и среднего квадратического для независимых одинаково нормально распределенных случайных величин.
20. Распределения хи-квадрат и Стьюдента.
21. Следствие из леммы Фишера о распределениях хи-квадрат и Стьюдента как распределениях статистик для нормальных выборок.
22. Интервальные оценки и их характеристики. Методы построения точных доверительных интервалов.
23. Построение точного доверительного интервала для параметра биномиального распределения.
24. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения (для среднего и для дисперсии).
25. Асимптотические доверительные интервалы. Способ построения интервала с помощью ЦПТ. Примеры асимптотического интервала для параметра биномиального распределения.
26. Теорема Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия для проверки двух простых гипотез, как наиболее мощный критерий.
27. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения (о среднем и дисперсии).
28. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения с помощью доверительных интервалов.
29. Критерий Стьюдента равенства средних значений двух нормальных выборок
30. Критерий Фишера равенства дисперсий двух нормальных выборок.
31. Распределение Фишера-Снедекора как распределение статистики дисперсионного отношения для нормальных выборок.
32. Дисперсионный анализ однофакторной модели для нормальных выборок.
33. Множественное сравнение параметров однофакторной модели с помощью доверительных интервалов.
34. Проверка гипотез о значениях параметра биномиального распределения.
35. Теорема об асимптотическом хи-квадрат распределении статистики Пирсона.
36. Критерий хи-квадрат для проверки гипотезы о данном полиномиальном распределении.
37. Критерий Колмогорова для проверки гипотезы о данном непрерывном распределении.