Лінійного оператора (матриці)

Date: 2015-10-07; view: 458.

Пошук власних чисел, власних векторів

Нехай – власний вектор оператора з числом : , чи, що одне і те ж:

. (1)

Тут – тотожний оператор: . Якщо в просторі зафіксовано базис , матриця оператора в ньому

, і .

Тоді співвідношення (1) можна переписати у матричному вигляді:

, (2)

де – одинична матриця -го порядку.

Вираз (2) перепишемо:

. (3)

Отримали однорідну систему лінійних рівнянь, яка заздалегідь має ненульовий розв'язок. А це може бути тільки тоді, коли ранг матриці цієї системи менше за :

,

тобто .

Озн. Многочлен степеня називається характеристичним многочленом оператора (матриці), а – характеристичним рівнянням. Всі розв'язки цього многочлена з урахуванням їх кратності – власні числа оператора (спектр оператора).

Розв'язавши систему (3) при усіх знайдених значеннях , отримаємо власні вектори оператора. На перший погляд може здатися, що знайдені власні числа і вектори залежать від матриці лінійного оператора, яка в свою чергу залежить від вибору базису.

Відповідь на це питання дає така теорема.

Теорема. Характеристичний многочлен лінійного оператора є інваріантним відносно вибору базису.

Доведення. Нехай – матриця лінійного оператора у «новому» базисі, а — матриця переходу. Тоді, враховуючи, що матриця комутує з будь-якою матрицею, маємо:

, що і треба було довести.

Таким чином, і мають один і той же характеристичний многочлен і спектри їх однакові.