Власні числа, власні вектори лінійного оператора

Date: 2015-10-07; view: 444.

Структура лінійного оператора

Нехай – лінійний оператор, який діє в просторі .

Озн. Вектор називається власним вектором оператора з власним числом , якщо .

Твердження 1. Якщо – власний вектор з власним числом , то ( ) – також власний вектор з тим же власним числом.

.

Якщо до множини векторів ( ) додати нульовий вектор, отримаємо власний лінійний підпростір розмірності .

Твердження 2. Якщо , і , , то – також власний вектор з числом .

.

І знову, якщо до «площини» векторів і додамо нульовий вектор, отримаємо власний підпростір розмірністю .

Ці твердження можна узагальнювати і далі.

Теорема. Якщо – власні вектори оператора , що відповідають різним власним числам , то вони — лінійно незалежні.

; ; ; при .

Доведення. Проведемо доведення за індукцією.

– лінійно незалежний.

Припустимо, що – лінійно незалежні. Лінійну незалежність всіх векторів доведемо від супротивного.

Тобто існують числа , , такі що

. (1)

Тоді

. (2)

Помножимо вираз (1) на і віднімемо від (2). Отримаємо:

.

Для , тому через лінійну незалежність випливає, що .

Але з (1) , що і доводить теорему.

Якщо , та існують лінійно незалежних власних векторів ( , ), то в такому і тільки в такому базисі матриця оператора має діагональний вигляд

.

Такі оператори називають операторами простої структури.