Функції від матриць

Date: 2015-10-07; view: 549.

1. Розглянемо многочлен -го степеня .

Нехай – матриця. Треба знайти :

; де – одинична матриця.

Матрицю можна розглядати, як матрицю деякого лінійного оператора в канонічному базисі.

Якщо ми перейдемо до іншого базису, то

Розглянемо :

Тому

.

Тобто

2. Функції від матриці, що має жорданову нормальну форму.

Нехай тепер матриця деяким перетворенням звелась до матриці , де – клітинка Жордана порядку :

.

Треба обчислити .

Для цього представимо , де – одна з нільпотентних матриць:

; , де - нульова матриця.

Розкладемо многочлен за формулою Тейлора в околі точки :

Остаточний член дорівнює нулю.

.

Якщо , то кількість доданків .

3. Узагальнення 1.

Якщо має клітинно-діагональий вигляд: , де

– клітина Жордана, то

.

4. Узагальнення 2.

Описаний в пункті 3 спосіб обчислення многочлена від матриці годиться і для обчислення таких функцій, як і т.д.