Побудова.

Date: 2015-10-07; view: 481.

1. ;

2. , .

Шукаємо у вигляді .

Константу знаходимо з умови : Звідси:

3.

Аналогічно:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k.

Ці міркування продовжуємо до тих пір, доки не побудуємо ортогональну систему векторів .

Отримали – ортогональний базис. Теорему доведено.

Приклад. Застосувавши процес ортогоналізації, побудувати ортогональний базис підпростору , натягнутого на вектори: , , .

Розв'язання:

;

; ;

.

; ;

;

.

Цей результат означає, що вектор лінійно залежить від і .

Відповідь. Ортогональний базис – вектори , ; .

Нехай – евклідів простір, .

Нехай – ортонормований базис, тобто:

, ( – символ Кронекера).

З першого семестра ми знаємо, які переваги дає нам введення в просторі ортонормованого базиса : спрощуються формули для скалярного, векторного, мішаного добутків векторів і т.і.

Щось подібне зробимо і в просторі .

1. В такому базисі дуже просто визначити координати довільного вектора.

; . Домножимо цю рівність скалярно на :

(оскільки тільки при ).

Тобто

(Якщо буде нескінченновимірним простором, ми отримали аналог розкладу елемента в ряд Фур'є).

2. Скалярний добуток.

Нехай

, .

Отримали

3. Коефіцієнти матриці лінійного оператора.

Нехай – лінійний оператор.

, – евклідові простори.

; – ортонормований базис .

– ортонормований базис .

Нехай – матриця лінійного оператора у вказаних базисах.

-й стовпчик цієї матриці , і ми знаємо, звідки взялися ці числа.

Врахували те, що при .

Маємо