Ортогональність. Ортонормований базис.

Date: 2015-10-07; view: 1216.

Озн. Нормою (або довжиною) вектора евклідового простору називається невід'ємне число .

Якщо , то називається нормованим.

Вл.

Для довільного вектора можна дістати нормований вектор:

– операція нормування.

Озн.Вектори називаються ортогональними, якщо .

Озн.Система векторів називається ортогональною, якщо вони попарно ортогональні і жоден з них не дорівнює нулю, тобто

Твердження. Ортогональна система векторів є лінійно-незалежною.

Доведення (від супротивного) Нехай система векторів – лінійно-залежна, .

Домножимо цю рівність скалярно на :

.

Отже, (оскільки ).

Отримали суперечність. Отже, – лінійно-незалежна.

Наслідок.Будь-яка ортогональна система ненульових векторів -вимірного Евклідового простору є базисом цього простору.

Теорема.У кожному -вимірному евклідовому просторі існують ортогональні базиси.

Доведення теореми конструктивне (процес ортогоналізації Грама-Шмідта).

Нехай – евклідів простір, - деякий базис . Побудуємо ортогональний базис цього простору,