Порядку до канонічного вигляду

Date: 2015-10-07; view: 801.

Зведення рівняння поверхні другого

Загальний вигляд рівняння поверхні другого порядку таке:

(*).

.

Перші шість доданків виразу (*) складають так звану квадратичну форму змінних . Матриця – матриця квадратичної форми.

Матриця може розглядатись як матриця деякого самоспряженого оператора в просторі в канонічному базисі , тому що вона за побудовою симетрична: . Якщо в скалярний добуток – сума добутків координат множників, то базис – ортонормований.

Пропонуємо самостійно перевірити, що квадратична форма може бути записана так: , де

Як відомо, для матриці , можна побудувати базис з ортонормованих власних векторів , в якому вона набуває діагонального вигляду

Перехід від до відбувається під дією ортогонального оператора , матриця якого в таких базисах, як відомо, має властивість: . А , в свою чергу, є матрицею оператора , оскільки .

Тому .

Таким чином:

, де – координати вектора в новому базисі .

Лінійна частина виразу (*) може бути перетворена так:

– координати вектора в базисі .

Цей факт випливає з того, що – також ортогональний оператор.

Вираз (*) набуває вигляду:

(**)

Нам лишається тільки виділити повні квадрати, тобто зробити паралельне перенесення, і задача розв'язана.

Зауважимо, що саме ортогональне перетворення дозволило нам від виразу (*) перейти до (**). Але, крім цього, поверхня при такому перетворенні не поміняла своїх параметрів, бо, як відомо, ортогональне перетворення зберігає кути і довжини.

Приклад 1.

Привести рівняння поверхні до канонічного вигляду.

Розв'язання

Матриця квадратичної форми : .

Знайдемо її власні числа:

Тому , а .

Тобто дана поверхня – гіперболічний параболоїд. Для того , щоб знайти, як нові змінні виражаються через та треба знайти ортогональне перетворення. Для цього треба знайти власні вектори ( вони будуть заздалегідь ортогональні, оскільки відповідають різним власним числам) і знормувати їх.

Матриця ортогонального оператора – це матриця повороту площини на .

.

Тому:

Приклад 2.

Привести до канонічного вигляду рівняння поверхні

.

Розв'язання

;

Тому квадратична форма нових змінних така: .

Для того, щоб знайти вираз старих змінних через нові, треба знайти всі власні вектори; якщо треба, ортогоналізувати їх і знормувати.

Власний вектор для

– власні вектори для

– оскільки вони відповідають різним власним числам, але .

Проведемо процес ортогоналізації на векторах і .

– власний вектор з числом , оскільки він лежить в площині векторів і , але тепер .

Матриця ортогонального перетворення

– це матриця повороту в просторі.

Лінійна частина рівняння поверхні: . Тому

Тому .

Рівняння поверхні в нових координатах:

Виділимо повний квадрат:

Перепозначимо (це і є паралельне перенесення):

– це еліпсоїд з півосями