ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Date: 2015-10-07; view: 459.

СОДЕРЖАНИЕ

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Геометрии и алгебры» студенты должны

знать:

· матричное исчисление

· понятие о группах, кольцах, полях

· поле комплексных чисел

· основы теории многочленов

· определение и основные свойства арифметического векторного пространства

уметь:

· решать алгебраические задачи, имеющие алгоритм решения

· решать задачи с векторами арифметического пространства

Тема 1: Множества, операции над ними.

Множества, операции над ними. Отображения, композиция отображений. Левое и правое обратное и связь с инъективностью и сюръективностью. Бинарные отношения. Отношения порядка и эквивалентности.

Тема 2: Матрицы, операции над ними

Матрицы, операции над ними, ассоциативность произведения, дистрибутивность. Единичная матрица и матричные единицы. Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных преобразований.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Общий анализ системы линейных уравнений. Связь между решениями однородной и неоднородной системы линейных уравнений.

Тема 4. Линейная зависимость строк

Линейная зависимость строк (столбцов) и ее свойства. База и ранг системы строк (столбцов). Алгоритм нахождения базы и ранга конечной системы строк (столбцов). Совпадение рангов системы строк и системы столбцов матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений на языке рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли). Критерий определенности системы линейных уравнений на языке рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Тема 5. Понятие о группе.

Понятие о группе. Перестановки и подстановки, их четность. Знак произведения подстановок. Разложение в произведение транспозиций, связь с четностью. Количество четных и нечетных подстановок.

Тема 6. Определение детерминанта, его свойства.

Определение детерминанта, его простейшие свойства. Изменение детерминанта при элементарном преобразовании строк матрицы, способы его вычисления. Неизменность детерминанта при транспонировании его матрицы. Критерий равенства детерминанта нулю. Определитель полураспавшейся матрицы. Разложение детерминанта по строке (столбцу), "фальшивое" разложение. Теорема Крамера о системе линейных уравнений с квадратной матрицей. Детерминант Вандермонда. Интерполяционная теорема Лагранжа.

Тема 7. Обратная матрица

Определение ранга матрицы на языке миноров. Теорема о ранге произведения матриц. Определитель произведения матриц. Формула обратной матрицы. Алгоритм обращения матрицы элементарными преобразованиями строк.

Тема 8. Понятие о кольце, поле.

Понятие о кольце, поле. Кольцо вычетов, случай, когда оно является полем. Построение поля комплексных чисел, алгебраическая форма записи. Тригонометрическая форма записи комплексного числа, формула Муавра, извлечение корней, группа корней из единицы.

Тема 9. Кольцо многочленов

Функциональное и графическое равенство многочленов. Деление многочленов с остатком, теорема Безу, схема Горнера. Н.О.Д. двух многочленов (целых чисел), алгоритм Евклида. Факториальность кольца целых чисел и кольца многочленов. Неприводимые многочлены над полем комплексных и действительных чисел. Формальная производная многочлена и ее свойства. Понижение кратности корня при дифференцировании. Формулы Виета. Поле рациональных дробей кольца многочленов. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Случай поля комплексных и действительных чисел.

1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

2. Арифметические пространства.

3. Фундаментальные системы решения однородных систем.

4. Определители.

5. Комплексные числа.

6. Многочлены (метод Горнера, алгоритм Евклида, метод не-

определенных коэффициентов)

7. Разложение дроби в сумму простейших.