Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Date: 2015-10-07; view: 532.

Собственными значениями (собственными числами, характеристическимичислами)

квадратной матрицы А называются значения скалярного параметра l, для которых матрица А-lЕ является вырожденной. Спектр (спектр собственных значений) матрицы А есть множество всех ее собственных значений. Спектр собственных значений квадратной матрицы А порядка n совпадает с множеством корней алгебраического уравнения n-ой степени det(A-lE) =0 (характеристическое уравнение или вековое уравнение матрицы А).

Кратность каждого корня l_j этого уравнения равна его алгебраической кратности m_j^/ как собственного значения, так что m₁^/+m₂^/+…=n.

Подобные матрицы размера n n имеют одни и те же характеристические уравнения.

Определение:ненулевой вектор x, удовлетворяющий условию A×x=l×x называется

собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению l. Если в линейном пространстве выбран базис, то равенство A×x=l×x можно записать так

(A-lE)×x=0 или расписать в виде

Любая матрица порядка n имеет n собственных значений, при этом каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность как корня характеристического многочлена. Для нулевой и единичной матриц любой ненулевой вектор является собственным. Для диагональной матрицы любой единичный вектор является собственным. Все подобные матрицы имеют одни и те же собственные значения.

Пример.

Дана матрица: .Найти ее характеристические числа и собственные векторы.

Решение: составляем характеристическое уравнение:

=0, или l² -8l +7=0;

характеристические числа l₁ =1, l₂ =7. Собственный вектор, соответствующий первому характеристическому числу, находим из системы уравнений:

так как l₁=1, то x₁^/ и x₂^/ связаны зависимостью 2x₁^/ + x₂^/=0. Полагая x₁^/=a (a¹0 – произвольное число), получаем x₂^/=-2a и собственный вектор, соответствующий характеристическому числу l₁=1, есть r₁=ai- 2aj. Найдем второй собственный вектор. Имеем

Подставив значение l₂ =7, приходим к соотношению x₁^// -x₂^// =0, т. е. x₁^// = x₂^//=b¹0. Собственным вектором, соответствующим второму характеристическому числу, служит

r₂ =bi +bj