Системы линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 426.

Общая теория систем линейных уравнений.

ЛЕКЦИЯ N9.

1.Системы линейных уравнений. 36

2.Правило Крамера. 37

3.Ранг матрицы. Базисный минор. 38

4.Однородные системы. 39

5.Матричное решение систем линейных уравнений размера n x n. 40

Систему уравнений:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1kx_k+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2kx_k+…+a_2nx_n=b₂

………………………………….. (1)

a_m1x₁+a_m2x₂+………….+a_mnx_n=b_n

называют системой m уравнений с n неизвестными x₁, x₂,…, x_n.

Определение: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение и определенной, если это решение единственно (в противном случае, неопределенной) или несовместной, если она не имеет решений.

Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и обратно.

Существует ряд элементарных преобразований, приводящих к равносильным системам:

1) перемена местами двух любых уравнений,

2) умножение обеих частей любого уравнения на произвольное число не равное нулю,

3) прибавление к обеим частям какого-либо уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Коэффициенты системы можно записать в виде матрицы размера m n

A-матрица системы

- A^/ - расширенная матрица.

Неизвестные и свободные члены можно записать в виде матриц-столбцов.

X= ; B= ;

Тогда систему можно записать в виде: AX=B (2)

Определение: Решением системы линейных уравнений называется совокупность

чисел y₁, y₂,…, y_n, таких, что каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки соответствующих значений y_i, i=1 ,…, n вместо

x_i, i=1,…, n.