Квадратичные и билинейные формы. Матрица формы.
Date: 2015-10-07; view: 497.
Квадратичные формы.
Пусть А=(aij) – симметричная матрица порядка n, aji=aij. Выражение 
(1) называется квадратичной формой переменных x1,…, xn. Матрица А называется матрицей этой квадратичной формы.
Примером квадратичной формы двух переменных x и y может служить выражение ax2+2bxy+cy2, где a, b, и с – некоторые действительные числа; ее матрица 
.
Набор чисел x1,…, xn можно рассматривать как координаты элемента n-мерного евклидова пространства Еn в некотором фиксированном ортобазисе e=(e1,…, en) этого пространства, x=x1e1+…+xnen.
Тогда выражение (1) будет представлять собой числовую функцию аргумента x, заданную на всем пространстве Еn. Эту функцию принято обозначать А(x, x). О такой квадратичной форме
A(x, x)= 
(2)
говорят, что она задана в n-мерном евклидовом пространстве Еn.
Со всякой квадратичной формой А(x, x) естественно связана симметричная билинейная форма
A(x, y)= (3),
где 
- координаты элемента y в ортобазисе е: y=h1e1+…+hnen.
Замечание. Форма (3) называется билинейной, так как она линейна по каждому аргументу – и по x, и по y: A(a1x1+a2x2,y)=a1A(x1,y)+a2A(x2,y); A(x,b1y1+b2y2)=b1A(x,y1)+b2A(x,y2) (здесь a1, a2, b1 и b2 – произвольные числа).
Билинейная форма (3) называется симметричной вследствие того, что ее значение не зависит от порядка аргументов, A(y, x)=A(x, y).
Вычисляя значения билинейной формы A(x, y) на базисных элементах, то есть полагая x=ek, y=em, получаем, что
A(ek, em)=akm (4).
Это означает, что элементы матрицы А квадратичной формы (2) суть значения билинейной формы на элементах базиса е.
Примером билинейной формы может служить скалярное произведение векторов n-мерного координатного пространства: ( 
, где x=(x1,…, xn), h=(h1,…, hn)ÎRn. Соответствующая квадратичная форма |x|2=(x×x)=(x1)2+…+(xn)2 определяет квадрат длины вектора x.
При переходе к другому базису координаты элемента x изменяются. Меняется и матрица А=А(е) квадратичной формы.
В приложениях часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду. Таким видом является диагональный, или нормальный вид.
Будем говорить, что квадратичная форма в базисе еимеет нормальный вид, если все коэффициенты при произведениях различных координат равны нулю, то есть aij=0 при i¹j. Тогда A(x, x)=a11(x1)2+a22(x2)2+…+ann(xn)n.
Матрица квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид:
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования. | | | Приведение квадратичной формы к каноническому виду. |