Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.

Date: 2015-10-07; view: 512.

Действия над линейными преобразованиями.

В приведенных ниже определениях примем следующие обозначения: А и В – произвольные линейные преобразования в линейном пространстве R, l - произвольное действительное число, хÎR – любой элемент.

Суммой линейных преобразований А и В называется преобразование С₁, определяемое равенством С₁х=Ах + Вх. Обозначение: С₁ = А + В.

Произведением линейного преобразования А на число l называется преобразование С₂ , определяемое равенством С₂х=lАх. Обозначение С₂=lА.

Произведением линейного преобразования А на линейное преобразование В называется преобразование С₃, определяемое равенством С₃х=АВх. Обозначение: С₃=АВ.

Преобразования С₁, С₂ и С₃ являются линейными. Матрицы линейных преобразований С₁, С₂ и С₃ определяются из равенств С₁ = А+В, С₂ = =lА, С₃=АВ.

При сложении линейных преобразований выполняется переместительный закон; произведение же АВ, вообще говоря, отличается от произведения ВА.

Перечислим некоторые свойства операций над линейными преобразованиями в пространстве R:

А(ВС)=(АВ)С; АЕ=ЕА=А; (А+В)С=АС + ВС; С(А+В)=СА + СВ.

Пусть R – заданное п-мерное линейное пространство. Ненулевой вектор хÎR называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число l, что выполняется равенство Ах=lх.Само число l называется характеристическим числом линейного преобразования А, соответствующим вектору х.

Если линейное преобразование А в базисе е₁, е₂, …, е_п имеет матрицу

А=

то характеристическими числами и собственными векторами линейного преобразования А служат собственное (характеристические) числа матрицы А - l₁, l₂, …, l_п и ее собственные векторы.

Теоремы:

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

2. Если матрица А линейного преобразования А является симметрический, то все корни характеристического уравнения |А-lЕ| =0 – действительный числа.

Пример:

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, определяемого уравнениями х^/ = 5х + 4у, у^/ = 8х + 9у.

Матрица преобразования запишется так: А= . Характеристическое уравнение имеет вид

=0, или l²-14l+13=0;

характеристические числа l₁=1, l₂=13.

Для определения координат собственных векторов получаем две системы линейных уравнений:

;

Так как l₁=1, то первую систему можно записать следующим образом:

Таким образом, значения x₁ и x₂ должны удовлетворять уравнению x_{1 +} x₂=0, или x₂ =

= -x_1. Следовательно, решение этой системы имеет вид x₁=с₁, x₂=-с₁, где с₁ – произвольная величина. Поэтому характеристическому числу l=1 соответствует семейство собственных векторов и=с₁е₁ - с₁е₂, т. е. и = с₁(е₁ – е₂).

Значение l₂=13 приводит к системе уравнений

т. е. x₂=2x₁. Полагая x₁=с₂, получаем x₂=2с₂. Следовательно, характеристическому числу l=13 соответствует семейство собственных векторов v=с₂(е₁ +2е₂)

Итак, придавая в равенствах u=c₁(e₁ – e₂), v=с₂(е₁ +2е₂) величинам с₁ и с₂ всевозможные числовые значения, будем получать всевозможные собственные векторы линейного преобразования А.