Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Date: 2015-10-07; view: 549.

Определение.Квадратичная форма A(x, x)= называется положительно

определенной или знакоположительной, если для любого ненулевого элемента x (или, что то же, для любого ненулевого набора ) выполняется неравенство A(x, x)>0.

Примером знакоположительной квадратичной формы может служить скалярный квадрат произвольного вектора координатного пространства: ( .

После приведения знакоположительной квадратичной формы к диагональному виду получаем A(x, x)= , где l₁>0,…, l_n>0.

Признаки положительной определенности,

неотрицательности и т.д. квадратичной формы.

Квадратичная форма является положительно определенной, отрицательно

определенной, неотрицательной, неположительной, неопределенной и тождественно равной нулю в том и только в том случае, если (необходимо действительные) собственные значения l_j матрицы А соответсвенно все положительны, все отрицательны, все неотрицательны, все неположительны, имеют различные знаки или все равны нулю.

Оказывается, по виду матрицы А, по знаку некоторых порождаемых ею

определителей, можно узнать будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или разного знака. В этом заключается критерий Сильвестра: составим ряд главных миноров квадратичной формы А(x, x): D₁=a₁₁, D₂= ,…, D_n= .

Согласно теореме Сильвестра:

1. Если D₁>0, D₂>0,…, D_n>0, то форма строго положительна (случай 1).

2. Если D₁<0, D₂>0, D₃<0,…, (-1)ⁿD_n>0, то форма строго отрицательная (случай 2).

3. Если D₁³0, D₂³0,…, D_n³0 или D₁£0, D₂³0,…, (-1)ⁿD_n³0 и имеется j, при котором D_j=0, то форма заведомо не строго определена.

4. Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределена.