Метод Лагранжа.

Date: 2015-10-07; view: 440.

Существует еще один (простой) метод приведения квадратичной формы к

диагональному виду, удобный, например, при получении ответа на вопрос, является ли квадратичная форма знакоопределенной или нет. Это - метод Лагранжа, или метод выделения полного квадрата. Он заключается в следующем.

Пусть A(x, x)= - заданная квадратичная форма и a₁₁¹0. Выпишем сначала все слагаемые, содержащие переменную x¹, и преобразуем их так:

a₁₁((x¹)²+2a₁₂x¹x²+…+2a_1nx¹xⁿ=a₁₁((x¹)²+2 = .

Полагая h¹=x¹+ , , получаем, что

A(x, x)=a₁₁(h¹)²+ , где a_ij^/=a_ij- .

Замечая, что выражение A₁(x, x)= также является квадратичной формой, но

уже зависящей от меньшего числа переменных, вновь выделяем полный квадрат и так далее.

Если a₁₁=0, но отлично от нуля a_ii (2£i£n), то применяем тот же прием, но уже к

переменной xⁱ.

Если все коэффициенты при квадратах неизвестных равны нулю, a₁₁=…=a_nn=0, то тогда следует начинать с преобразования координат вида:

x¹=h¹+h²,

x²=h¹-h²,

x^k=h^k, k=3,…, n.

В результате проведенного преобразования координат, в частности, получим 2a₁₂x¹x²=2a₁₂(x¹)²-2a₁₂(h²)².

И, тем самым, придем к общему случаю.

Пример. Методом Лагранжа привести к диагональному виду квадратичную форму A(x, x)=2xy+2yz+2zx.

Введем новые координаты : x= , y= , x= .

Тогда A(x, x)= .

Положим и получим A(x, x)=2 .

Замечание. Недостаток метода Лагранжа состоит в том, что при указанных

преобразованиях координат новые координатные оси уже не являются попарно ортогональными.

Закон инерции квадратичных форм: число положительных, число отрицательных и

число нулевых коэффициентов при квадратах неизвестных в диагональном виде квадратичной формы всегда одно и то же и не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.