Сума та перетин лінійних підпросторів

Date: 2015-10-07; view: 1038.

Лінійні простори. Лінійні оператори (продовження)

Циліндри другого порядку

Конус другого порядку

.

Ця поверхня у перетині з площинами утворюють еліпси.

А при маємо дві прямі: і .

При – прямі .

Рис. 6

а) еліптичний

.

Рис. 7

б) гіперболічний

.

Рис. 8

в) параболічний

Рис. 9

Нехай – деякий лінійний простір, – його підпростори.

Озн .Сумою лінійних підпросторів і є:

.

Озн .Перетином підпросторів і є:

.

Твердження. Сума і перетин і є підпросторами .

Доведення. Нехай ; ; , ;

; , .

Тоді :

; .

І нехай .

Тоді ; .

Приклади.

а)   Рис. 1

;

б)   .   Рис. 2

; ;

Рис. 3

Теорема. .

Доведення. Нехай і вектори – базис . Якщо , можемо побудувати такий базис :

.

Аналогічно: ; – базис .

Розглянемо систему векторів:

, (*)

і доведемо, що вона є базисом .

;

.

Таким чином, система (*) є повною в . Припустимо, що (*) – лінійно залежна, тобто , , не всі водночас нульові, такі, що

. (1)

Позначимо: . (2)

Зрозуміло, що . Але із (1) .

Тобто, . Тоді . (3)

Із (2) та (3)

через лінійну незалежність .

Маємо із (1) з таких же міркувань.

Таким чином, наше припущення, що у (1) деякі коефіцієнти невірне, що й доводить лінійну незалежність системи (*).

Отримали, що система (*) повна у і лінійно незалежна вона є базисом у .

Кількість векторів у системі *): ,

що і доводить теорему.