Пряма сума лінійних підпросторів

Date: 2015-10-07; view: 669.

Нехай – лінійний простір; , .

Озн . Сума називається прямою (позначається ), якщо

; , , і цей розклад єдиний.

Приклади 1) і 2) є прикладами прямої суми, а 3) – ні.

Теорема 2. Лінійний простір розкладається у пряму суму своїх підпросторів тоді і тільки тоді, коли об'єднання базисів підпросторів є базисом всього .

Доведення. Нехай , а – базис , – базис .

, ; ;

;

, тобто система векторів

*)

є повною в .

Доведемо, що система *) – лінійно незалежна. Припустимо, що

і є такі, що

. (1)

Вектор , який стоїть праворуч, можна представити у вигляді і цей розклад єдиний.

Із (1) випливає: , ,

а із лінійної незалежності базисів і : і ,

що доводить першу частину теореми.

Тепер припустимо, що система *) – базис .

:

і цей розклад єдиний. Тобто , де ,. Це і доводить той факт, що сума – пряма. Теорему доведено.