Перетворення координат вектора при зміні базису

Date: 2015-10-07; view: 456.

Перехід до іншого базису

Нехай – лінійний простір; ; – базис цього простору, який ми умовно будемо називати «старим».

Якщо , то: . (1)

Таким чином, кожному елементу можна поставити у взаємно однозначну відповідність стовпчик координат цього вектора за «старим» базисом:

.

Якщо ж взяти в тому ж просторі якийсь інший («новий») базис , то той же вектор можна розкласти за ним і отримати стовпчик «нових» координат: . (2)

Тобто, тому ж самому елементу відповідатиме інший стовпчик:

.

Нам треба знайти зв'язок між стовпчиками та .

Побудуємо так звану матрицю переходу . Для цього:

а) кожний вектор «нового» базису по черзі розкладемо за «старим»:

;

, і т.д.; (3)

б) коефіцієнти розкладу запишемо стовпчиками.

.

З виразів (2) та (3) маємо,

.

Порівнюючи отриманий результат із виразом (1), маємо: .

Це є покоординатний запис співвідношення .

Тоді, .

Зауваження. оскільки її стовпчики – координати лінійно незалежних базисних векторів. А це означає, що завжди існує.

Приклад. Знайти координати розкладу вектора за базисом

Розв'язання. Координати векторів задані в канонічному базисі Нам зручно саме його вважати «старим», а - «новим». Тоді матриця переходу .

Можна переконатись, що дійсно