Матриця лінійного оператора при зміні базису

Date: 2015-10-07; view: 554.

Нехай – деякий лінійний оператор, який діє із лінійного простору у простір . .

І нехай ; – «старий» базис ; ; – «старий» базис .

У цих базисах можемо побудувати матрицю оператора .

Якщо у просторі перейти до базису , а у просторі до базису , то у цих «нових» базисах матриця того ж оператора зміниться – . Треба знайти зв'язок між цими матрицями.

Побудуємо дві матриці переходу: – у просторі ; – у просторі . Тоді операторному співвідношенню ; ;

відповідають матричні:

; (1)

; (2)

Але, ; . Підставляємо у (1):

.

Порівнюючи із (2), маємо: ,

і навпаки. .

Для нас буде важливим такий окремий випадок: .

І у першому, і у другому «екземплярі» простору базис – «новий», а – «старий», матриця переходу – .

Тоді .

Приклад. Оператор переводить вектори в в Знайти матрицю оператора : а) в базисі ; б) в канонічному базисі.

Розв'язання.

а) Щоб побудувати матрицю оператора в базисі , треба і розкласти за тим же базисом, коефіцієнти розкладу записати стовпчиками. Тобто треба знати і в «новому» базисі .

Тоді

б) В канонічному базисі