Правило Крамера.

Date: 2015-10-07; view: 448.

Пусть число уравнений равно числу неизвестных (m=n)

Теорема:система из n уравнений с n неизвестными.

a₁₁x₁+…+a_1nx_n=b₁

………………….. (3)

a_n1x₁+…+a_nnx_n=b_n

имеет единственное решение, если определитель матрицы этой системы не равен нулю, и ищется это решение по формулам x_i=Δx_i/Δ, где Δ – определитель матрицы системы, Δx_i – определитель матрицы, получаемый из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство: для n=2

a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

Умножим первое уравнение на a₂₂, второе – на (-a₁₂) и сложим полученные уравнения:

a₁₁a₂₂x₁+a₁₂a₂₂x₂=b₁a₂₂

- a₂₁a₁₂x₁-a₂₂a₁₂x₂=-b₂a₁₂

_________________________________

(a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂)x₁+(a₁₂a₂₂-a₂₂a₁₂)x₂=b₁a₂₂-b₂a₁₂, отсюда получаем:

x₁=

Аналогично, умножив первое уравнение на (-a₂₁), а второе – на a₁₁, и сложив их почленно, получим

x₂= . Итак, очевидно,что

x₁= =

x₂= =

Для системы n-го порядка: x₁= ; x₂= ; …; x_n= .

Вернемся к системе из двух уравнений с двумя неизвестными и предположим, что Δ=a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂=0, то есть a₁₁a₂₂=a₂₁a₁₂.

В этом случае коэффициенты при неизвестных одного уравнения пропорциональны коэффициентам при неизвестных другого. Предположим, что a₁₁≠0; обозначим a₂₁/a₁₁=λ, то есть a₂₁=λa₁₁.

Из равенства a₁₁a₂₂=a₂₁a₁₂ найдем a₂₂=a₂₁a₁₂/a₁₁=λa₁₂. Система запишется так:

a₁x₁+a₁₂x₂=b₁ (2)

λ(a₁₁x₁+a₁₂x₂)=b₂

Здесь возможны два случая:

1. Определители Δx₁ и Δx₂ равны нулю.

Δx₁=b₁a₂₂-b₂a₁₂=0

Δx₂=a₁₁b₂-a₂₁b₁=0

Отсюда находим, что b₂=λb₁ (так как a₂₂=λa₁₂)

Систему можно записать в виде: a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁ (3)

λ(a₁₁x₁+a₁₂x₂)=b₁λ

Второе уравнение следствие первого. Очевидно, что система имеет бесчисленное множество решений.

Задавая произвольно, например x_2, можем найти x₁.

Условие неопределенности системы: a₁₁ /a₂₁=a₁₂/a₂₂=b₁/b₂.

1. Хотя бы один из определителей Δx₁ или Δx₂≠0.

Пусть Δx₂=a₁₁b₂-a₂₁b₁≠0.

Тогда, a₁₁b₂≠a₂₁b₁ и b₂≠λb₁.

Тогда в системе (2) второе уравнение противоречит первому. Система не имеет решений или несовместна. Условие несовместности: a₁₁/a₂₁=a₁₂/a₂₂≠b₁/b₂.