Ранг матрицы. Базисный минор.

Date: 2015-10-07; view: 422.

Определение: строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный

минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема: В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией

базисных столбцов, а каждая строка – линейной комбинацией базисных строк.

Теорема: Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов

в этой матрице.

Теорема о базисном миноре позволяет дать простое и эффективное условие совместности систем линейных уравнений (1), носящее название теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема: Система (1) имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда

ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы А^/.

Доказательство:

Перепишем систему (1) в виде: x₁ +x₂ +…+x_n = (*)

x₁a₁+x₂a₂+…+x_na_n=b

1. итак, если существует решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца к матрице А не изменит ее ранга: rang A=rang A^/
2. пусть rang A^/=rang A.

В этом случае базисный минор матрицы А является базисным и в матрице А^/. Это

означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А, в которых расположен базисный минор.

В этом случае столбец свободных членов есть линейная комбинация всех столбцов

матрицы. Коэффициенты этой линейной комбинации и представляют собой решение системы.

Если r(A)=r(A^/), то система называется совместной. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (то есть r=n), то система будет определенной.

Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных (то есть r<n), то

система будет неопределенной. В этом случае, рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффициентами при r неизвестных в одном из уравнений системы. Эти r неизвестных называют базисными неизвестными, а остальные – свободными.

Выделим из системы (1) систему r уравнений, среди коэффициентов которых

содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные неизвестные, перенесем направо.

Из полученной системы уравнений определяем базисные неизвестные в зависимости

от свободных неизвестных (например, по формулам Крамера).

Следовательно, система имеет бесчисленное множество решений.