Однородные системы.

Date: 2015-10-07; view: 457.

Линейная система называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю:

Основные свойства однородной системы:

1. Однородная система всегда совместна.

Набор x₁=0,…, x_n=0 – нулевое решение, существующее у системы всегда.

1. Если число m уравнений однородной системы меньше числа n неизвестных, то эта

система имеет ненулевые решения.

Согласно сформулированному условию, ранг r матрицы системы удовлетворяет неравенству r£m<n. Это позволяет утверждать, что исходная система является неопределенной.

3. Сумма решений однородной системы также является ее решением.

1. Произведение решения однородной системы на любое число также является решением.

Пусть x₁=l₁, x₂=l₂,…, x_n=l_n – какое-нибудь решение системы. Запишем это решение в

виде вектора f=(l₁, l₂,…, l_n). Совокупность линейно независимых решений f₁, f₂,…, f_n системы уравнений называется фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений может быть представлено в виде линейной комбинации векторов f₁, f₂,…, f_n.

Теорема существования фундаментальной системы решений.

Если ранг матрицы

меньше n, то система имеет ненулевые решения. Число векторов,

определяющих фундаментальную систему решений, находится по формуле k=n-r, где r – ранг матрицы.

Таким образом, если рассматривается линейное пространство R_n, векторами которого

являются всевозможные системы n действительных чисел, то совокупность всех решений системы является подпространством пространства R_n. Размерность этого подпространства равна k.

5.Матричное решение систем линейных уравнений размера n x n.