Метод Жордана-Гаусса.

Date: 2015-10-07; view: 516.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса был рассмотрен матричный метод, в результате которого данная система уравнений сводилась к треугольной системе. Познакомимся с модифицированным методом Жордана-Гаусса, позволяющим находить непосредственно значения неизвестных.

Пусть дана система линейных уравнений

(1)

В матрице А этой системы выберем отличный от нуля элемент a_qp. Этот элемент

называется разрешающим элементом, p-й столбец матрицы А – разрешающим столбцом, а q-я строка – разрешающей строкой.

Рассмотрим новую систему уравнений

(2)

с матрицей А^/; коэффициенты и свободные члены этой системы определяются по формулам

, если i¹q.

В частности, a_ip=0, если i¹q. Если же i=q, то принимаем a_qj^/=a_qj, b_q^/=b_q. Таким

образом, q-е уравнение в системах (1) и (2) одинаковы, а коэффициенты при x_p во всех уравнениях системы (2), кроме q-го, равны нулю.

Следует иметь в виду, что системы (1) и (2) одновременно совместны или

несовместны. В случае совместности эти системы равносильны (их решения совпадают).

Для определения элемента a_ij^/ матрицы А^/ полезно иметь в виду так называемое

«правило прямоугольника».

Рассмотрим 4 элемента матрицы А: a_ij (элемент, подлежащий преобразованию), a_qp

(разрешающий элемент) и элементы a_ip и a_qj. Для нахождения элемента a_ij следует из элемента a_ij вычесть произведение a_ip и a_qj, расположенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент a_qp.

а_ij а_ip

а_qj а_qp

Аналогичным образом можно преобразовать систему (2), приняв за разрешающий

элемент матрицы А^/ элемент a_sr^/¹0, причем s¹q, r¹p. После этого преобразования все коэффициенты при x_r, кроме a_sr, обратятся в нуль. Полученная система может быть снова преобразована и так далее. Если r=n (ранг системы равен числу неизвестных), то после ряда преобразований придем к системе уравнений вида

из которой находятся значения неизвестных. Описанный метод решения, основанный на последовательном исключении неизвестных, называется методом Жордана-Гаусса.

Дана матрица системы линейных уравнений

А= .

При решении этой системы методом Жордана-Гаусса за разрешающий элемент

приняли a₂₃=3. Найти элементы a₂₄^/, a₁₃^/, a₄₄^/ преобразованной матрицы.

Так как a₂₄ – элемент разрешающей строки, то a₂₄^/=a₂₄=2. Элемент a₁₃ принадлежит

разрешающему столбцу; поэтому a₁₃^/=0. Элемент a₄₄^/ определяем по правилу прямоугольника:

А= , a₄₄^/=a₄₄- .