Применение матричного исчисления к решению экономических задач.

Date: 2015-10-07; view: 476.

Итак, в этой модели равновесие между потреблением C и доходами Y находится из решения системы уравнений (*) . На параметры a и b наложены ограничения: 0<a<1; b>0.

Для решения задачи представим систему уравнений в матричной форме. Предварительно перенесем все эндогенные величины (потребление С и доходы Y) в левые части уравнений, а именно

Эту систему уравнений, равносильную исходной, можно записать в виде A×X=B,

где A= ; X= ; B= .

Чтобы убедиться в справедливости такой записи, достаточно умножить матрицу А на вектор-столбец X.

A×X= × = .

Приравнивая элементы полученного вектора-столбца к элементам вектора-столбца B, получаем требуемую систему уравнений.

Умножаем матричное уравнение A×X=B на обратную матрицу A^-1 и учитывая, что

A^-1×A=Е, легко находим X=A^-1×B.

В общем случае для матрицы A размера 2´2 : A=[a_ij]; обратная матрица A^-1 имеет вид

A^-1= .

Подставляя сюда элементы нашей матрицы A: A= и вычисляя определитель det(A)=det =1×1-(-1)×(-a)=1-a, получаем A^-1= .

Это позволяет определить вектор-столбец X: X=A^-1×B= = .

С другой стороны, мы определили вектор-столбец X как X= .

Приравнивая элементы двух вектор-столбцов, окончательно находим C= , C= .

Полученные значения определяют точку равновесия между потреблением C и доходами Y, если известны уровень инвестиций и зависимость потребления от доходов (параметры a и b).

Рассмотрим теперь пример матричной модели, то есть модели, построенной в виде таблицы (матрицы). Такие модели обычно отображают соотношения между затратами на производство и его результатами. Широкое распространение матричных моделей связано с тем, что запись данных в табличной форме облегчает их обработку на компьютерах и дает наглядное представление о результатах расчета.

Рассмотренная простая макроэкономическая модель предполагает наличие всего двух секторов экономики: производители и потребители. От производителей идет поток товаров и услуг, а от потребителей – поток денег.

При этом товары и услуги можно измерять не в физических объемах, а в текущих рыночных ценах, то есть стоимостных объемах. В этом случае все потоки можно измерять в денежных единицах.

«Производитель» включает все многообразие фирм, предприятий и целых отраслей производства, занимающихся активной экономической деятельностью. Всю производимую ими продукцию (товары и услуги) удобно разделить на две части: промежуточный продукт и конечный продукт.

Промежуточный продукт – это та часть совокупного продукта, которой производители обмениваются между собой или используют для собственных нужд. Например, электроэнергия используется практически в любом производстве. В свою очередь, энергетический комплекс нуждается в продукции огромного количества отраслей.

Конечный продукт – это вся продукция, предназначенная для потребителей.

Иногда используется термин «конечный спрос», чтобы подчеркнуть: в рыночной экономике только товар, «нашедший» покупателя, обладает стоимостью. Себестоимость товара никого не интересует, кроме тех, кто этот товар произвел.