Уравнение Леонтьева в различных экономических задачах.
Date: 2015-10-07; view: 492.
Пусть требуется определить конечный продукт каждой отрасли, если известны объемы совокупных продуктов и матрица коэффициентов прямых затрат. Для решения достаточно переписать уравнение Леонтьева в виде
Y=X-A×X
и подставить заданные A и X.
В качестве примера рассмотрим случай двух фирм-производителей, когда совокупный продукт фирмы 1 равен 200, а фирмы 2 – 300. В этом случае X= 
, A= 
, и, подставляя в уравнение, сразу находим
Y=X-A×X= 
= 
.
Таким образом, конечный продукт фирмы 1 равен 60, а фирмы 2 – 80.
Перейдем к более трудной обратной задаче – определению совокупного продукта по известному конечному продукту (конечному спросу). Отметим, что именно эта задача чаще решается на практике, так как в рыночной экономике именно спрос задает объемы производства.
Вновь воспользуемся уравнением Леонтьева, перенеся члены, содержащие X, в левую часть, а именно X-A×X=Y.
Это равенство можно переписать в виде (Е-A)×X=Y.
Действительно, вспоминая свойства операций над матрицами и определение единичной матрицы Е, имеем (Е-A)×X=Е×X-A×X=X-A×X.
Умножим обе части уравнения на матрицу (Е-A)-1, обратную для матрицы (Е-A):
(Е-A)-1×(Е-A)×X=(Е-A)-1×Y.
Учитывая, что по определению обратной матрицы (Е-A)-1×(Е-A)=Е, окончательно имеем X=(Е-A)-1×Y.
Вернемся к нашему простому примеру с двумя фирмами-производителями. Предположим, что конечный продукт фирмы 1 должен составить 70, а фирмы 2 – 120. Требуется определить необходимый совокупный продукт каждой фирмы. Матрица коэффициентов прямых затрат А предполагается известной
A= .
Для решения находим матрицу (Е-A)= 
и вычисляем для нее обратную матрицу (Е-A)-1= 
.
Мы воспользовались формулой для вычисления обратной матрицы размера 2 
.
Теперь, подставляя в формулу заданный вектор-столбец конечного продукта Y, находим X=(Е-A)-1×Y= 
.
Таким образом, чтобы удовлетворить конечный спрос, совокупный продукт фирмы 1 должен составить 260, а фирмы 2 – 410.
Отметим, что самая трудоемкая часть задачи – это вычисление обратной матрицы
(Е-A)-1, если учесть, что ее размер в реальных задачах может достигать нескольких сотен. Однако когда эта матрица найдена, расчет различных вариантов представляет собой сравнительно простую процедуру. Например, предположим, что в последнем примере конечный продукт фирмы 1 равен 60, а фирмы 2 – 80, то есть Y= 
, то, используя ранее вычисленную матрицу (Е-A)-1, легко находим X= 
.
Таким образом, для удовлетворения последнего варианта конечного спроса совокупный продукт фирмы 1 должен быть 200, а фирмы 2 – 300.
В заключение отметим, что в реальных задачах приходится иметь дело не с двумя фирмами, а с сотнями отраслей производства. Решение таких задач немыслимо без использования компьютеров и соответствующего программного обеспечения.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Модель межотраслевого баланса. | | | Линейные преобразования. Базис матрицы преобразования. |