Линейные преобразования. Базис матрицы преобразования.

Date: 2015-10-07; view: 565.

Линейные преобразования пространства.

Линейные преобразования пространства. Квадратичные формы.

ЛЕКЦИЯ N12.

Линейные преобразования пространства. 50

1.Линейные преобразования. Базис матрицы преобразования. 50

2.Действия над линейными преобразованиями. 53

3.Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования. 54

Квадратичные формы. 57

1.Квадратичные и билинейные формы. Матрица формы. 57

2.Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 58

3.Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. 59

4.Метод Лагранжа. 60

Будем говорить, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому вектору xÎ R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор AxÎR. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа l выполняются равенства

A(x+y)=Ax+Ay, A(lx)= lAx.

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя. Тождественное линейное преобразование обозначается через Е. Таким образом, Ех=х.

Пример:

Дано линейное пространство геометрических векторов. Преобразование А состоит в замене каждого вектора его составляющей по оси Ох. Является ли это преобразование линейным?

Пусть a=X₁i + Y₁j + Z₁k и b=X₂i + Y₂j + Z₂k – произвольные векторы, а l - произвольное действительное число. Так как

а+b=(X₁+X₂)i + (Y₁+Y₂)j+ (Z₁+Z₂)k, la=lX₁i + lY₁j + lZ₁k

то

A(a+b)=(X₁+X₂)i = X₁i + X₂i = Aa + Ab, A(la)=AX₁i = lAa

Итак, А – линейное преобразование.

Пусть п-мерном линейном пространстве R, базис которого е₁, е₂, …, е_n, задано линейное преобразование А. Так как Ае₁, Ае₂, …, Ае_n – векторы пространства R, то каждый из них можно разложить единственным способом по векторам базиса:

Ae₁=a₁₁e₁+a₂₁e₂+ … + a_n1e_n,

Ae₂=a₁₂e₁+a₂₂e₂+ … + a_n2e_n,

. . . . . . . . . . . . . . .

Ae_n=a_1ne₁+a_2ne₂+ … + a_nne_n,

Матрица

А=

Называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, …, е_n. Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов. Возьмем в пространстве R какой-нибудь вектор x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n. Так как АхÎR, то и вектор Ах можно разложить по векторам базиса:

Ax = x₁^/e₁ + x₂^/e₂ + … + x_n^/e_n.

Координаты (x₁^/; х₂^/; …; х_п^/) вектора Ах выражаются через координаты (x₁; х₂; …; х_п) вектора х по формулам

х₁^/= а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1пх_п

х₂^/= а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2пх_п

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

х_п^/= а_п1х₁ + а_п2х₂ + … + а_ппх_п

Эти п равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе е₁, е₂, …, е_п. Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.